Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)

Senin, 19 November 2012 Tambah Komentar Edit

Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$

$\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$

$\left ( f \circ g \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1} \circ f^{-1} \right )\left ( x \right )$

$\left ( f^{-1} \circ f \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$

$\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$

Jika $f\left ( x \right )=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$

Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$

1. Soal SNMPTN 2011 Kode 879 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=\dfrac{x-2011}{x-1}$, maka $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x)$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{x+2011}{x-1} \\
(B)\ & \dfrac{x+2011}{x+1} \\
(C)\ & \dfrac{x-2011}{x+1} \\
(D)\ & \dfrac{x-2011}{x-1} \\
(E)\ & \dfrac{-x+2011}{x-1}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x) & = \dfrac{x-2011}{x-1} \\
(f \circ f)(x) & = f \left( f(x) \right) \\
& = \dfrac{f(x)-2011}{f(x)-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-2011}{\dfrac{x-2011}{x-1}-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{2011x-2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}} \\
& = \dfrac{\dfrac{x-2011-2011x+2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011-x+1}{x-1}} \\
& = \dfrac{\dfrac{-2010x}{x-1}}{\dfrac{-2010}{x-1}} \\
& = \dfrac{-2010x}{-2010} \\
& = x
\end{align}$
Dari hasil di atas yaitu $(f \circ f)(x) = x$ maka:
$(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$
$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$
$(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(x)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{x-2011}{x-1}$

2. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=ax+3$, $a \neq 0$ dan $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$ maka nilai $a^{2}+a+1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk $f(x) = ax+3$ dapat kita tentukan $f^{-1}(x)$ dan $f^{-1}(9)$ yaitu:
$\begin{align}
y & = ax+3 \\
y - 3 & = ax \\
\dfrac{y - 3}{a} & = x \\
f^{-1}(x) & = \dfrac{x - 3}{a} \\
f^{-1}(9) & = \dfrac{9 - 3}{a} \\
f^{-1}(9) & = \dfrac{6}{a}
\end{align}$
Lalu kita substitusikan kepada $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right) & = f^{-1}\left ( \dfrac{6}{a} \right ) \\
3 & = \dfrac{\dfrac{6}{a} - 3}{a} \\
3a & = \dfrac{6-3a}{a} \\
3a^{2} & = 6-3a \\
3a^{2}+3a-6 & = 0 \\
a^{2}+a-2 & = 0 \\
a^{2}+a-2 +3 & = 0 +3 \\
a^{2}+a+1 & = 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

3. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=ax+3$, dan $f \left (f \left ( x \right ) \right )=4x+9$ maka nilai $a^{2}+3a+3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk $f(x) = ax+3$ dapat kita tentukan $f \left (f \left ( x \right ) \right )$ yaitu:
$\begin{align}
f \left (f \left ( x \right ) \right ) & = af(x)+3 \\
4x+9 & = a(ax+3)+3 \\
4x+9 & = a^{2}x+3a+3
\end{align}$
Dari bentuk diatas dapat kita simpulkan $4x= a^{2}x$ dan $9 =3a+3$ sehingga
$a^{2}+3a+3=4+9$
$a^{2}+3a+3=13$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 13$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1} ( x )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & f^{-1}( x)+4 \\
(B)\ & 4-f^{-1}( x) \\
(C)\ & f^{-1} ( x+4 ) \\
(D)\ & -f^{-1} ( x )-4 \\
(E)\ & f^{-1} ( x )-4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( x-2 \right)=a$ dan $f\left ( x+2 \right)=a$.
$g\left ( x-2 \right)=a$
$g^{-1}\left ( a \right )=x-2$
$g^{-1}\left ( a \right )+2=x$

$f\left ( x+2 \right )=a$
$f^{-1}( a)=x+2$
$f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+2+2$
$f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+4$
$f^{-1}( a)-4=g^{-1}(a)$
$g^{-1}( a)=f^{-1}(a)-4$
$g^{-1} ( x)=f^{-1}(x)-4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f^{-1} ( x )-4$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 324 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & g^{-1} ( x )-4 \\
(B)\ & g^{-1} ( x )-2 \\
(C)\ & \frac{1}{2}g^{-1} ( x )-2 \\
(D)\ & \frac{1}{2}\left (g^{-1} ( x )-2 \right) \\
(E)\ & \frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kenakalan seperti soal sebelumnya yaitu memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$g\left ( 4+2x \right)=y$
$g^{-1}\left ( y \right )=4+2x$
$g^{-1}\left ( y \right )-4=2x$
$\frac{1}{2} \left (g^{-1}(y)-4 \right )=x$
$\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2=x$

$f ( x )=y$
$f^{-1}( y)=x$
$f^{-1}(y)=\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2$
$f^{-1}(x)=\frac{1}{2} g^{-1} (x )-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} g^{-1}(x)-2$

6. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2x+8 \\
(B)\ & 2x-8 \\
(C)\ & 8-2x \\
(D)\ & \frac{x}{2}-4 \\
(E)\ & 4-\frac{x}{2} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita bisa nakal dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan $\frac{x}{2}+3=a$
$\frac{x}{2}=a-3$
$x=2a-6$

$f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-\left ( 2a-6 \right)$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-2a+6$
$f^{-1}\left ( a \right)= 8-2a$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8-2x$

7. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)Diketahui $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -\frac{3}{2} \\
(D)\ & \frac{3}{2} \
(E)\ & 3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit nakal memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$
atau bisa kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$

$f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2}$
$f \left ( -1 \right)= \frac{-p+q}{-1+2}$
$q= \frac{-p+q}{1}$
$q= -p+q$
$p=0$

$f \left ( x \right)= \frac{q}{x+2}$
$f^{-1} \left ( \frac{q}{x+2} \right)= x$
kita misalkan $\frac{q}{x+2}=2q$ karena kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$q=2qx+4q$
$-3q=2qx$
$x=\frac{-3q}{2q}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{3}{22}$

8. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 (*Soal Lengkap)Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ adalah $\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini bisa juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita bisa nakal dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\frac{x-6}{x+3}=-2$ karena kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$x-6=-2x-6$
$-6+6=-3x$
$x=0$

$f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{0-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

9. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=x^{2}-1$, dan $g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$ maka daerah asal fungsi $f \cdot g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x|-\infty \lt x \lt \infty \right \} \\
(B)\ & \left \{ x|x \neq -1 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x|x \neq 2 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x|x \lt -1 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x|x \geq 2 \right \}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f \cdot g & = x^{2}-1 \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\
& = (x-1)(x+1) \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\
& = \dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1} \\
\end{align}$
Himpunan daerah asal sebuah fungsi adalah himpunan daerah asal (domain) agar fungsi mempunyai hasil (range) real.
Dari bentuk diatas $f \cdot g$ adalah $\dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1}$, sehingga agar fungsi $f \cdot g$ mempunyai hasil real, maka domain harus $\left \{ x|x \neq -1 \right \}$. Karena saat $x=-1$ nilai $f \cdot g$ adalah tak tentu.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x|x \neq -1 \right \}$

10. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=1-x^{2}$, dan $g(x)=\sqrt{5-x}$ maka daerah hasil fungsi komposisi $f \circ g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \} \\
(B)\ & \left \{ y|y \leq -1\ \text{atau}\ y \geq 1 \right \} \\
(C)\ & \left \{ y|y \leq 5 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x|y \leq 1 \right \} \\
(E)\ & \left \{ x|-1 \leq y \geq 1 \right \}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 1-\left( g(x) \right)^{2} \\
& = 1-\left( \sqrt{5-x} \right)^{2} \\
& = 1-(5-x) \\
& = x-4
\end{align}$
Fungsi $(f \circ g)(x)=x-4$ adalah fungsi linear (garis lurus), sehingga untuk himpunan daerah asal $(x)$ yang tidak dibatasi maka daerah hasil $(y)$ merupakan himpunan tak hingga.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \}$

11. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$.
Fungsi komposisi $(fog)(x)= \cdots $
$(A)\ 3x^{2}+3x+11$
$(B)\ 3x^{2}-3x+11$
$(C)\ 3x^{2}-3x-11$
$(D)\ 9x^{2}-9x-5$
$(E)\ 9x^{2}-9x-5$Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 3g(x)+2 \\
& = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 11
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 x^{2} - 3x + 11$

12. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Daerah asal fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=\frac{\sqrt{3x-8}}{2x-20}$ adalah...
$(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(B)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(C)\ \left \{x | x \geq -6,\ x \neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(D)\ \left \{x | x \leq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(E)\ \left \{x | x \leq -6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$Alternatif Pembahasan: show

Daerah asal fungsi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi mempunyai nilai Real.

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar.

Untuk fungsi pecahan agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol.
$ \begin{align}
2x-20 & \neq 0 \\
2x & \neq 20 \\
x & \neq 0 \end{align} $

Untuk fungsi bentuk akar, agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol.
$ \begin{align}
3x-18 & \geq 0 \\
3x & \geq 18 \\
x & \geq \frac{18}{3} \\
x & \geq 6 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$

13. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{6x-5}$, $x \neq \frac{5}{6}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah...
$(A)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x-3},\ x \neq \frac{1}{2}$
$(B)\ f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(C)\ f^{-1}(x)=\frac{6x+3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
$(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(E)\ f^{-1}(x)=\frac{6x-3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$Alternatif Pembahasan: show

Invers fungsi $f(x)$;
$f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$ \begin{align}
f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y(6x-5) & = 2-3x \\
6xy-5y & = 2-3x \\
6xy+3x & = 2+5y \\
x(6y+3) & = 2+5y \\
x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\
f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$

14. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(gof)(x)=x-3$. Nilai dari $g^{-1}(-2)$ adalah...
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2$Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan informasi pada soal, diketahui $(gof)(x)=x-3$ maka
$g \left (f(x) \right )=x-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{5}{2}$
$g \left (a \right )=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
invers fungsi $g(a)$ adalah $g^{-1}(a)$ salah satu cara menentukan $g^{-1}(a)$ yaitu:
$y=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
$2y=a-5$
$2y+5=a$
$g^{-1}(a)=2a+5$
$g^{-1}(-2)=2(-2)+5=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

15. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x) \leq 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ x \leq 2\ \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 2\ \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | 0 \leq x \leq 2\ \right \} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dari $(f \circ g)(x)$ dapat kita peroleh $f(x)$, dengan mensubtitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$.

Pertama kita coba cari $g^{-1}(x)$ dari $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$.
$\begin{align}
y & = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \\
y^{2} & = \dfrac{1}{x-1} \\
x-1 & = \dfrac{1}{y^{2}} \\
x & = \dfrac{1}{y^{2}} +1 \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{1}{x^{2}} +1 \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}
\end{align}$

Berikut kita cari $f(x)$ dengan mensubstitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$
$\begin{align}
f(x) & = (f \circ g)(g^{-1}(x)) \\
& = \dfrac{2\left (g^{-1}(x) \right )-1}{\left (g^{-1}(x) \right )-1} \\
& = \dfrac{2\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1}{\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{2+2x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{ x^{2}}{x^{2}}} \\
& = \dfrac{2+x^{2}}{1} \\
& = 2+x^{2}
\end{align}$

Diketahui $1 \leq f(x) \leq 6$, maka:
$1 \leq 2+x^{2} \leq 6$
$1-2 \leq x^{2} \leq 6-2$
$-1 \leq x^{2} \leq 4$

Untuk $x^{2} \leq 4$
$\begin{align}
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x+2)(x-2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$

Untuk $x^{2} \geq -1$ selalu benar untuk setiap $x$ bilangan real.

Irisan $-2 \leq x \leq 2$ dan $x \in \mathbb{R}$ adalah $-2 \leq x \leq 2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \}$

16. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ dan $g(x)=\dfrac{ 1}{x-2}$, maka himpunan penyelesaian $\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} \lt 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2\ \right \} \\
(B)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 2 \lt x \lt 3 \right \} \\
(C)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \} \\
(D)\ & \left \{ x | 1 \lt x \lt 2 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\
(E)\ & \left \{ x | 2 \lt x \lt 3 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x)g(x) & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}} \times \dfrac{1}{x-2} \\
& = \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}
\end{align}$

$\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{g(x)}-1 \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-1 \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{2-x}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{-(x-2)}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (-1 \right )^{2}}=1
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & \lt 0 \\
\dfrac{\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}}{1} & \lt 0 \\
\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} & \lt 0 \\
(x-1)^{2}(x-2) & \lt 0 \\
x \lt 1\ \text{atau}\ &\ 1 \lt x \lt 2
\end{align}$
(*Jika belum bisa mengerjakan pertidaksamaan dengan baik coba Matematika Dasar: Pertidaksamaan)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \}$

17. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$, maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -9 \\
(E)\ & -14
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dari $g(x+1)=x-3$ dapat kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
g(x+1) & = x-3 \\
g(x+1)& = x+1-4 \\
g(a)& = a-4 \\
g(x)& = x-4 \\
g^{-1}(x)& = x+4 \\
g^{-1}(3)& = 3+4=7
\end{align}$

Dari $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dapat kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
f \left( g(x) \right) & = 2x-1 \\
f ( x-4) & = 2x-1 \\
f ( x-4) & = 2(x-4)+8-1 \\
f ( x-4) & = 2(x-4)+7 \\
f(a) & = 2a+7 \\
f(x) & = 2x+7 \\
f^{-1}(x)& = \dfrac{x-7}{2} \\
f^{-1}(3)& = \dfrac{3-7}{2}=-2
\end{align}$

$f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)= -2 \times 7=-14$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -14 $

18. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=x+1$ dan $g(x+2)=x-4$, maka nilai $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dari $g(x+1)=x-3$ dapat kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
g(x+2) & = x-4 \\
g(x+2)& = x+2-6 \\
g(a)& = a-6 \\
g(x)& = x-6 \\
g^{-1}(x)& = x+6 \\
g^{-1}(2)& = 2+6=8
\end{align}$

Dari $f \left( g(x) \right)=x+1$ dapat kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
f \left( g(x) \right) & = x+1 \\
f ( x-6) & = x+1 \\
f ( x-6) & = x-6+7 \\
f(a) & = a+7 \\
f(x) & = x+7 \\
f^{-1}(x)& = x-7 \\
f^{-1}(2)& = 2-7=-5
\end{align}$

$f^{-1}(2) + g^{-1}(2)= -5 + 8=3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 $

19. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $g(x)=\dfrac{-ax-3}{-x-4}$ dan $h(x)=\dfrac{4x-3}{-x+a}$, nilai $(g \circ h)(3)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
(g \circ h)(x) & = g \left ( h(x) \right ) \\
& = \dfrac{-ah(x)-3}{-h(x)-4} \\
& = \dfrac{-a \left(\dfrac{4x-3}{-x+a} \right)-3}{-\left( \dfrac{4x-3}{-x+a}\right)-4} \\
& = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} -3}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4} \\
& = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} - 3 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)} \\
& = \dfrac{ -4ax+3a + 3x-3a }{ -4x+3 +4x-4a } \\
& = \dfrac{ -4ax+ 3x }{ 3 -4a } \\
& = \dfrac{ x(3-4a ) }{ 3 -4a } \\
& = x
\end{align}$

Karena $(g \circ h)(x) = x$ maka $g(x)$ dan $h(x)$ saling invers, sehingga $(g \circ h)(x) = x$ dan $(g \circ h)(3) = 3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

20. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $f(x+1)=\dfrac{2x-7}{x+1}$, maka...
$\begin{align}
(1)\ & f(-1)=11 \\
(2)\ & f^{-1}(-1)=3 \\
(3)\ & (f \circ f)^{-1}(-1)=-9 \\
(4)\ & \dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk point $(1)$ pernyataan $f(-1)=11$ adalah BENAR
$\begin{align}
f(x+1) & = \dfrac{2x-7}{x+1} \\
f(x+1) & = \dfrac{2(x+1)-9}{x+1} \\
f(a) & = \dfrac{2(a)-9}{a} \\
f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\
f(-1) & = \dfrac{2(-1)-9}{ -1 }=11
\end{align}$
Untuk point $(2)$ pernyataan $f^{-1}(-1)=3$ adalah BENAR
$\begin{align}
f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\
y & = \dfrac{2x-9}{x} \\
yx & = 2x-9 \\
yx-2x & = -9 \\
x & = \dfrac{-9}{y-2} \\
f^{-1}(x) & = \dfrac{-9}{x-2} \\
f^{-1}(-1) & = \dfrac{-9}{-1-2}=3
\end{align}$
Untuk point $(3)$ pernyataan $(f \circ f)^{-1}(-1)=-9$ adalah BENAR
$\begin{align}
f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\
(f \circ f)^{-1}(-1) & = f^{-1} \left( f^{-1}(-1) \right) \\
& = f^{-1} \left( 3 \right) \\
& = \dfrac{-9}{3-2} \\
& = \dfrac{-9}{1}=-9
\end{align}$
Untuk point $(4)$ pernyataan $\dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9}$ adalah BENAR
$\begin{align}
f^{-1}(x) & = \dfrac{-9}{x-2} \\
f^{-1}(-2) & = \dfrac{-9}{-2-2} \\
& = \dfrac{-9}{-4}=\dfrac{ 9}{ 4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1), (2), (3), (4)\ \text{BENAR}$

21. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=\dfrac{5x}{x+1}$. Jika $h$ adalah funsgi sehingga $\left ( g \circ h \right )(x)=x-2$ maka $\left ( h \circ f \right )(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2x-3}{2x+8} \\
(B)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+6} \\
(C)\ & \dfrac{2x-3}{2x-8} \\
(D)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+8} \\
(E)\ & \dfrac{2x-3}{-2x-8}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Fungsi Komposisi yang mungkin membantu yaitu;

Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
$\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$

$\begin{align}
\left ( g \circ h \right )(x) &= x-2 \\
g\left ( h(x) \right ) &= x-2 \\
\dfrac{5h(x)}{h(x)+1} &= x-2 \\
5h(x) &= \left( x-2 \right)\left( h(x)+1 \right) \\
5h(x) &= xh(x)-2h(x) +x-2 \\
7h(x)-xh(x) &= x-2 \\
h(x) \left( 7-x \right) &= x-2 \\
h(x) &= \dfrac{x-2}{\left( 7-x \right)} \\
\hline
\left ( h \circ f \right )(x) &= h\left ( f(x) \right ) \\
&= \dfrac{f(x)-2}{\left( 7-f(x) \right)} \\
&= \dfrac{2x-1-2}{\left( 7- (2x-1) \right)} \\
&= \dfrac{2x-3}{ 7-2x+1 } \\
&= \dfrac{2x-3}{ 8-2x }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2x-3}{-2x+8}$

22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}(81)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Fungsi Komposisi yaitu;

Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
$\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$

$\begin{align}
f(x)&= 3^{x-1} \\
\hline
y &= 3^{x-1} \\
y &= 3^{x} \cdot 3^{-1} \\
3y &= 3^{x} \\
x &= {}^3\!\log 3y \\
\hline
f^{-1}(x) &= {}^3\!\log 3x \\
f^{-1}(81) &= {}^3\!\log 3(81) \\
&= {}^3\!\log 243 \\
&= {}^3\!\log 3^{5} \\
&= 5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Daerah asal fungsi $h(x)= \sqrt{ \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2}}$ agar terdefenisi adalah...
$(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(B)\ \left \{x | -2 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(C)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 1,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(D)\ \left \{x | x \lt -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(E)\ \left \{x | x \leq -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$Alternatif Pembahasan: show

Domain (daerah asal) fungsi $f(x)$ agar $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.

Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
$ \begin{align}
x+2 & \neq 0 \\
x & \neq -2
\end{align} $

Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$.
$ \begin{align}
\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} & \geq 0
\end{align} $
Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan dia atas, seperti gambar berikut:

Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)

Himpunan penyelesaian $\dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} \geq 0$ adalah $-2 \leq x \leq 1$ atau $x \geq 2$.

Jika kesulitan untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan di atas, silahkan dicoba Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan).

Batasan nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari pertidaksamaan $-2 \leq x \leq 1$, $x \geq 2$ dan $x \neq -2$ yaitu:

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g: R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(fog)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 13 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 25
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan informasi pada soal Fungsi Komposisi di atas, diketahui $(fog)(x)=x^{3}-4x$ maka:
$ \begin{align}
f \left ( g(x) \right ) & = x^{3}-4x \\
f \left ( x-1 \right ) & = x^{3}-4x \\
\hline
\text{untuk}\ x=3 \\
\hline
f \left ( 3-1 \right ) & = 3^{3}-4(3) \\
f \left ( 2 \right ) & = 27-12 \\
& = 15 \\
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$

25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{5x+1}$, dengan $x \geq -\dfrac{1}{5}$. Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{4}{5} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{8}{5} \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan informasi pada soal Fungsi Invers di atas, diketahui $f(x)=\sqrt{5x+1}$ maka berlaku:
$ \begin{align}
y & = \sqrt{5x+1} \\
y^{2} & = 5x+1 \\
y^{2}-1 & = 5x \\
\dfrac{y^{2}-1}{5} & = x \\
\hline
f^{-1}(x) &=\dfrac{x^{2}-1}{5} \\
f^{-1}(3) &=\dfrac{3^{2}-1}{5} \\
&=\dfrac{8}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{5}$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Jika fungsi $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$ terdefenisi untuk $x \leq a$ atau $x \geq a$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & -8
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.

Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.

Pada soal di atas penyebut adalah $y=x^{2}+x+12$ karena $a \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real atau definit positif.

Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. Karena penyebut adalah definit positif, sehingga agar fungsi $\dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12} \geq 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $ x^{2}-8x+5 \geq 0$.

$ \begin{align}
x^{2}-8x+5 & \geq 0 \\
x_{1,2} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4(1)(5)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{8 \pm \sqrt{64-20}}{2} \\
& = \dfrac{8 \pm \sqrt{44}}{2} \\
& = \dfrac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2} \\
x_{1}& = 4 + \sqrt{11} \\
x_{2}& = 4 - \sqrt{11}
\end{align} $
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-8x+5 \geq 0$ adalah Himpunan penyelesaian $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$, yaitu $x \leq 4 - \sqrt{11}$ atau $x \geq 4 + \sqrt{11}$, sehingga nilai $a+b= 4 - \sqrt{11}+4 + \sqrt{11}=8$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasMatematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)

lembar jawaban penilaian harian matematika,

lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

Fungsi Komposisi dan Fungsi InversCMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

var labelArray = ["BANK SOAL", "Fungsi Invers"]; var relatedPostConfig = { homePage: "https://bukuajaran-sma-smk.blogspot.com/", widgetTitle: "<div class='label-line-c'><h4>Artikel Terkait</h4></div>", numPosts: 8, titleLength: "auto", thumbnailWidth: 250, thumbnailHeight: 170, noImage: "//3.bp.blogspot.com/-ltyYh4ysBHI/U04MKlHc6pI/AAAAAAAADQo/PFxXaGZu9PQ/w255-h170-c/no-image.png", containerId: "related-post-3072921789893946599", newTabLink: false, moreText: "Read More", widgetStyle: 3, callBack: function() {} };

Belum ada Komentar untuk "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)"

Posting Komentar

Beranda