PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih?

Melihat soal-soal yang disajikan dalam buku matematika SMP atau SMA pada kurikulum 2013 memaksa guru harus belajar ekstra keras. Masalah kemampuan guru-guru yang ada di Indonesia tidak kita ragukan, tetapi ini adalah masalah kebiasaan, ciri soal-soal yang ada di buku pelajaran matematika kurikulum sebelumnya bisa dikatakan sangat sederhana. Tetapi untuk kurikulum 2013 soal yang diberikan adalah soal-soal yang biasanya di sajikan pada kompetisi matematika atau olimpiade matematika.

Berikut salah satu latihan yang saya ambil dari buku matematika kelas 7 kurikulum 2013. Menurut Anda jika soal dibawah ini diberikan kepada 100 guru matematika berapa persen guru yang sanggup menjawab dengan benar?.

Soal dibawah ini juga sudah pernah ditanyakan orang tua siswa di sosial media karena anaknya yang SMP di beri Pekerjaan Rumah soal nomor 4 - 8. Dari kata-kata yang ditulis ibu tersebut, sepertinya keberatan dengan soal dibawah ini (PR matematika anakku yg duduk di kls 1 SMP, kurikulum 2013... Gak salah niih?).

$\1$. Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,\ b$ bilangan bulat dan $b ≠ 0$.
$ a.\ 0,25$
$ b.\ 3,50$
$ c.\ 0,75$
$ d.\ -5,2$
$ e.\ 0,47$

Alternatif Pembahasan: show

Soal diatas sudah kita perbaiki sehingga bisa kita kerjakan, soal aslinya tampak seperti yang ada digambar. Untuk mengubah bentuk bilangan tanpa merubah nilainya, konsepnya adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan satu. Karena setiap bilangan yang dikalikan dengan satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Untuk memilih 'satu' inilah menjadi sebuah kreativitas yang indah pada matematika, mari kita coba...
$ a.\ 0,25=0,25 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} $

$ b.\ 3,50=3,50 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{350}{100}=\dfrac{7}{2} $

$ c.\ 0,75=0,75 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4} $

$ d.\ -5,2=-5,2 \times \dfrac{10}{10}=-\dfrac{52}{10}=-\dfrac{26}{5} $

$ e.\ 0,47=0,47 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{47}{100} $

$\2$. Buktikanlah $ \sqrt{7}$ adalah bukan bilangan rasional

Alternatif Pembahasan: show

Cara yang kita gunakan adalah dengan pengandaian/pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ merupakan bilangan rasional, kemudian bila pengandaian/pemisalan salah maka terjadi kontradiksi, kesimpulannya adalah lawan/kebalikan dari pengandaian/pemisalan. Cara seperti ini dikenal dengan pembuktian dengan kontradiksi.

Untuk membuktikan dengan kontradiksi kita misalkan bahwa $\sqrt{7}$ adalah bilangan rasional.
karena $ \sqrt{7}$ adalah bilangan rasional maka dapat kita tuliskan persamaan sebagai berikut,
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, dimana a,b bilangan bulat, b ≠ 0 dan FPB (a,b) adalah 1 (saling prima) atau $ \dfrac{a}{b} $ adalah bentuk pecahan dari $ \sqrt{7} $ yang paling sederhana.
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, (kuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)

$ 7=\dfrac{a^{2}}{b^{2}} $, (perkalian silang)

$ 7a^{2}=b^{2} $
dari persamaan diatas $ 7a^{2} $ adalah kelipatan 7 sehingga $ b^{2} $ juga kelipatan 7 dan b adalah kelipatan 7.
Karena b adalah bilangan kelipatan 7 maka dapat kita tuliskan bahwa $b = 7m$, $m$ adalah bilangan asli.
$ 7a^{2}=b^{2}$
$ 7a^{2}=\left ( 7m \right )^{2}$
$ 7a^{2}= 49m^{2} $
$ a^{2}=7m^{2} $
dari persamaan diatas $ 7m^{2} $ adalah kelipatan 7 sehingga $ a^{2} $ juga kelipatan 7 dan a adalah kelipatan 7. Karena a adalah bilangan kelipatan 7 maka dapat kita tuliskan bahwa $a = 7n$, $n$ adalah bilangan asli.
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} \rightarrow \sqrt{7}=\dfrac{7n}{7m}$
Karena a adalah bilangan kelipatan 7 dan b adalah bilangan kelipatan 7 ini berarti FPB (a,b)≠1 sehingga kontradiksi/bertentangan dengan pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ bilangan rasional. Jadi $ \sqrt{7}$ bukan bilangan rasional.

$\3$. Misalkan $a$ bilangan bulat, Buktikan jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap

Alternatif Pembahasan: show

Karena $a$ bilangan genap maka dapat kita tuliskan $a=2n$, dimana $n$ adalah bilangan bulat
karena $ a=2n$
$ a^{2}=\left ( 2n \right )^{2}$
$ a^{2}= 4n^{2} $
$ a^{2}=2\left ( 2n^{2} \right )$
$ a^{2}=2m$, dimana $ m = 2n^{2}$
Karena $ a^{2}$ adalah bilangan kelipatan $2$ maka $ a^{2}$ adalah bilangan genap.
Jadi terbukti bahwa jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap

$\4$. Tentukan nilai $ p=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...$

Alternatif Pembahasan: show

$ p=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...$
$ p=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...$ (Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan 3)
$ 3p=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...$
$ 3p=1+\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...}$
$ 3p=1+p$
$ 3p-p=1$
$ 2p=1$
$ p=\dfrac{1}{2}$

Alternatif penyelesaian dengan menggunakan rumus persamaan deret geometri tak hingga, karena deret diatas adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $ a = \dfrac{1}{3}$ dan rasio $ r = \dfrac{1}{3}$.

$ S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$
$ S_{\infty }=\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$
$ S_{\infty }=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}$

$\5$. Tentukan nilai $ y=x+1^{3}+x+2^{3}+x+3^{3}+x+4^{3}+x+5^{3}+...x+99^{3}+x+100^{3}$

Alternatif Pembahasan: show

Soal dapat kita tulis menjadi $ y=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...+99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+x+x+...+x+x}$
Kelompok $ \underbrace{x+x+x+x+x+...+x+x}$ hasilnya adalah $ 100x$
Kelompok $ \underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...+99^{3}+100^{3}}$ dapat kita hitung dari bagian yang paling sederhana,
$ 1^{3}=1=1^{2} $
$ 1^{3}+2^{3}=9=3^{2} $
$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}=36=6^{2} $
$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=100=10^{2} $
$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=225=15^{2} $

$ 1^{2}, 3^{2}, 6^{2}, 10^{2}, 15^{2},...,\left(\dfrac{n \left ( n+1 \right )}{2} \right)^{2}$

Sehingga untuk jumlah $ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...+99^{3}+100^{3}$
adalah
$ \left[\dfrac{100\left ( 100+1 \right )}{2} \right ]^{2}$
$=\left[\dfrac{100\left ( 101 \right )}{2} \right ]^{2}$
$= \left[{50\left ( 101 \right )} \right ]^{2}$
$={5050}^{2}$

$ y=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...+99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+x+x+...+x+x}$

$ y={5050}^{2}+100x$

$\6$. Bilangan $23a23b$ habis dibagi $8$ dan $9$. Tentukanlah nilai $a+b$.

Alternatif Pembahasan: show

Masalah diatas dapat kita selesaikan dengan melihat ciri-ciri bilangan habis dibagi
BILANGAN HABIS DIBAGI 8
Tiga digit terakhir habis dibagi $8$.
Contoh :
apakah $3224$ habis dibagi $8$? Tiga digit terakhir yaitu $224$. Dan $224$ habis dibagi $8$. Sehingga $3224$ habis dibagi $8$. Bagaimana dengan $56$? Tidak jadi masalah karena $56 = 056$. Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu $056$. dan $56$ habis dibagi $8$. Sehingga $56$ habis dibagi $8$.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi $9$.
Contoh :
apakah $819$ habis dibagi $9$? Jumlah digit-digitnya yaitu $8 + 1 + 9 = 18$. Dan $18$ habis dibagi $9$. Sehingga $819$ habis dibagi $9$.

Agar $23a23b$ habis dibagi $8$ maka $23b$ harus habis dibagi $8$, sehingga nilai $b$ yang mungkin adalah $2$, karena $232$ habis dibagi $8$.
Agar $23a232$ habis dibagi $9$ maka $(2+3+a+2+3+2)$ harus kelipatan $9$, sehingga nilai $a$ yang mungkin adalah $6$.
Nilai $a+b$ adalah $8$

$\7$. Jika $ 0,2010201020102010...=\dfrac{x}{y}$ dengan $x,\ y$ bilangan asli. Maka nilai terkecil dari $x+y$ adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Misal
$ 0,2010201020102010...=k$ kita sebut persamaan $(1)$,
ruas kiri dan ruas kanan dikali 10000, sehingga diperoleh
$ 2010,201020102010...=10000k$ kita sebut persamaan $(2)$.

Persamaan $(2) - (1)$,
$ 2010,201020102010...=10000k$
$ 0,2010201020102010...=k$
--------------------------------------------------
$ 2010=9999k$
$ \dfrac{2010}{9999}=k$
$ \dfrac{x}{y}=\dfrac{2010}{9999}=\dfrac{670}{3333}$

nilai $x+y$ yang terkecil adalah $670 + 3333 = 4003$

$\8$. Buktikanlah $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{7}{8} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita misalkan,
Untuk membuktikan $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6} \cdots \dfrac{7}{8} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$
$ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{7}{8} \cdots \dfrac{2007}{2008}$

$ Q=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{8}{9} \cdots \dfrac{2008}{2009}$

Jika kita perhatikan $ \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4} \lt \dfrac{4}{5},\ \dfrac{5}{6} \lt \dfrac{6}{7},$ dan seterusnya, maka $ P \lt Q $
$ P \cdot Q = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2007}{2008} \cdot \dfrac{2008}{2009}$

$ P\cdot Q = \dfrac{1}{2009}$

$ P \lt Q $ (sama-sama dikalikan dengan P, tanda tetap karena P adalah bilangan postif)
$ P^{2} \lt P \cdot Q $
$ P^{2} \lt \dfrac{1}{2009} $
$ P \lt \sqrt{\dfrac{1}{2009}} $
$ P \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}} $
$ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{7}{8}\cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$ (terbukti)

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Mohon perbaikan jika ada yang salah, dan dengan melihat salah satu model uji kompetensi di atas, sebagai seorang guru matematika untuk SMA saya masih kesulitan untuk menyampaikan penyelesaian diatas kepada anak SMP. Bagaimana dengan Anda?😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Mengerjakan pembagian pecahan umumnya kita harus kembalikan ke perkalian pecahan, lihat pada video ini dikerjakan dengan sangat kreatif;

Sumber https://www.defantri.com/

Bagikan Artikel ini