Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri

Jumat, 02 Oktober 2015 Tambah Komentar Edit

one-oneJenis Transformasi

Translasi (Pergeseran)

Refleksi (Pencerminan)

Rotasi (Perputaran)

Dilatasi Perkalian

1. Translasi (Pergeseran)2. Refleksi (Pencerminan)

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\2k
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2k\\0
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2a\\2b
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

3. Rotasi (Perputaran)

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )$
$y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )+\left (a\ sin\ \theta-b\ cos\ \theta \right )+a$
$y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )-\left (b\ cos\ \theta+a\ sin\ \theta \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$

4. Dilatasi (Perkalian)

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= k\left (x-a \right )+a$
$y'= k\left (y-b \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$

Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A'$, maka berlaku:
Luas bangun datar $A'=k^{2} \times\ \text{luas bangun datar}\ A$.

Luas segitiga $ABC$ dimana $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ adalah $[ABC]= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & x_{1} & y_{1}\\
1 & x_{2} & y_{2}\\
1 & x_{3} & y_{3}
\end{vmatrix}$

Luas benda hasil transformasi adalah $\left | det\ T \right | \times \text{Luas Benda Asal}$

Komposisi Transformasi

Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
$A''=T_{2}+T_{1}+A$
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$

Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
$A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$

soal-soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri atau Sekolah Kedinasan1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Segitiga $ABC$ dengan koordinat titik sudut $A(2,-1)$, $B(6,-2)$, dan $C(5,2)$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$. Bayangan koordinat titik sudut segitiga $ABC$ adalah...
$(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
$(B)\ A(3,4),\ B(4,0),\ C(0,1)$
$(C)\ A(-4,3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(D)\ A(-4,-3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(E)\ A(-4,-3),\ B(0,4),\ C(1,1)$Alternatif Pembahasan: show

Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ \theta & -sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$

Bayangan titik $(x,y)$ sudut segitiga yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ 180 & -sin\ 180\\
sin\ 180 & cos\ 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$

Bayangan titik $A(2,-1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-3\\
-1-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1+3\\
2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(6,-2)$ adalah $B'(0,4)$ dan bayangan titik $C(5,2)$ adalah $C'(1,0)$
*Alternatif: dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(a,b)$, sama juga dengan direfleksi dengan pusat $(a,b)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$

2. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
$(A)\ x+y-3=0$
$(B)\ x-y-3=0$
$(C)\ 3x+y+3=0$
$(D)\ x+3y+1=0$
$(E)\ 3x+y+1=0$Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $X$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
Jika kurang paham perkalian matriks silahkan dicoba Matematika Dasar: Belajar Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

$y'=-y$ maka $y=-y'$
$x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = x+1 \\
-y' & = x'+2y'+1 \\
0 & = y'+x'+2y'+1 \\
3y'+x' +1 & = 0
\end{align}$

Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+3y+1=0$

3. Soal OSK Matematika SMP 2018 (*Soal Lengkap)Perhatikan gambar berikut ini:

Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A)\ y=2x+4$
$(B)\ y=2x-4$
$(C)\ y=-2x+4$
$(D)\ y=-2x-4$Alternatif Pembahasan: show

Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
$\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}$

Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.

Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.

Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}$
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=2x-4$

4. Soal UN Matematika IPA 2017 (*Soal Lengkap)Persamaan bayangan garis $y=3x+2$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3} \\
(B)\ & y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & y= \dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & y=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & y=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
cos\ 90 & -sin\ 90\\
sin\ 90 & cos\ 90
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-y\\
x+2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

$x'=-y$ maka $y=-x'$
$y'=x+2y$ maka $x=y'+2x'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = 3x+2 \\
-x' & = 3(y'+2x')+ 2 \\
-x' & = 3y'+6x'+ 2 \\
-x'-6x'-2 & = 3y' \\
3y' & = -7x' -2 \\
y' & = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}
\end{align}$

Persamaan garis adalah $y' = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$

5. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 (*Soal Lengkap)Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=x$, maka koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(B)\ & \left ( -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(C)\ & \left ( \dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(D)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(E)\ & \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
cos\ 45 & -sin\ 45\\
sin\ 45 & cos\ 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2} \\
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) $

6. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 (*Soal Lengkap)Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=-x$, maka koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(B)\ & \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(C)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(D)\ & \left ( \dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(E)\ & \left ( -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
cos\ 45 & -sin\ 45\\
sin\ 45 & cos\ 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.

Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2} \\
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$

7. Soal UMB 2011 Kode 152 (*Soal Lengkap)Jika setiap titik pada grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap $y=x$, maka grafik yang dihasilkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2},\ x \geq 0 \\
(B)\ & y=-\sqrt{x},\ x \geq 0 \\
(C)\ & y=-x^{2},\ x \leq 0 \\
(D)\ & y=\sqrt{-x},\ x \leq 0 \\
(E)\ & y=-\sqrt{-x},\ x \leq 0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y\\
x
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

$x'=y$ atau $y=x'$
$y'=x$ atau $x=y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=\sqrt{x}$, perlu kita tambahkan bahwa agar grafik $y=\sqrt{x}$ mempunyai nilai real maka $x \geq 0$;
$\begin{align}
y & = \sqrt{x} \\
x' & = \sqrt{y'} \\
(x')^{2} & = y' \\
y' & = (x')^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x^{2},\ x \geq 0 $

8. Soal UMB 2011 Kode 350 (*Soal Lengkap)Jika setiap titik pada parabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$ maka parabola yang dihasilkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2}+2x+1 \\
(B)\ & y=x^{2}-2x+1 \\
(C)\ & y=x^{2}-2x+3 \\
(D)\ & y=x^{2}-4x+5 \\
(E)\ & y=x^{2}+4x+5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Pparabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$
Matriks Transformasi
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+2,y+1 \right)$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

$x'=x+2$ maka $x=x'-2$
$y'=y+1$ atau $y=y'-1$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=x^{2}$;
$\begin{align}
y & = x^{2} \\
y'-1 & = (x'-2)^{2} \\
y'-1 & = (x')^{2}-4x'+4 \\
y' & = (x')^{2}-4x'+4+1 \\
y' & = (x')^{2}-4x'+5 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=x^{2}-4x+5$

9. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)Pencerminan garis $y=-x+2$ terhadap $y=3$, menghasilkan garis...
$\begin{align}
(A)\ & y=x+4 \\
(B)\ & y=-x+4 \\
(C)\ & y=x+2 \\
(D)\ & y=x-2 \\
(E)\ & y=-x-4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,2k-y \right)$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,6-y \right)$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

$x'=x$ atau $x=x'$
$y'=6-y$ atau $y=6-y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=-x+2$;
$\begin{align}
y & = -x+2 \\
6-y' & = -x'+2 \\
-y' & = -x'+2-6 \\
-y' & = -x'-4 \\
y' & = x'+4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+4$

10. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $(−2,3)$ dan melalui titik $(1,5)$. Jika lingkaran $L$ diputar $90^{\circ}$ terhadap titik $(0,0)$ searah jarum jam, kemudian digeser kebawah sejauh $5$ satuan, maka persamaan lingkaran $L’$ yang dihasilkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y-5=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}+6x-6y+5=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+6x-6y-5=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menentukan persamaan lingkaran hasil transformasi kita coba dari transformasi titik pusat dan titik yang dilalui lingkaran.

Titik pusat $(-2,3)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ (-90) & -sin\ (-90) \\
sin\ (-90) & cos\ (-90)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-2 \\
3
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik pusat hasil transformasi adalah $(3,2-5)$ atau $(3,-3)$.

Titik $(1,5)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ (-90) & -sin\ (-90) \\
sin\ (-90) & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 \\
5
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 \\
-1
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik hasil transformasi adalah $(5,-1-5)$ atau $(5,-6)$

Persamaan lingkaran dengan pusat $(3,-3)$ dan melalui titik $(5,-6)$;
$r= \sqrt{(5-3)^{2}+(-6+3)^{2}}$
$r= \sqrt{4+9}$
$r= \sqrt{13}$

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=13$
$x^{2}-6x+9+y^{2}+6y+9=13$
$x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$

11. Soal UN Matematika IPA 2007 (*Soal Lengkap)Bayangan kurva $y=x^{2}-3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $X$ dilanjutkan dengan dilatasi pusat $O$ dan faktor skala $2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}+6 \\
(B)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}-6 \\
(C)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3 \\
(D)\ & y=6-\dfrac{1}{2}x^{2} \\
(E)\ & y=3-\dfrac{1}{2}x^{2}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi dicerminkan terhadap sumbu $X$
$T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $2$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$.

Kurva ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & -2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2x \\
-2y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

$x'=2x$ maka $x=\dfrac{1}{2}x'$
$y'=-2y$ maka $y=-\dfrac{1}{2}y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan kurva;
$\begin{align}
y & = x^{2}-3 \\
\dfrac{1}{2}y' & = \left( \dfrac{1}{2}x' \right)^{2}-3 \\
-\dfrac{1}{2}y' & = \dfrac{1}{4} \left( x' \right)^{2}-3 \\
-y' & = \dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}-6 \\
y' & = -\dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}+6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=6-\dfrac{1}{2}x^{2}$

12. Soal UM UGM 2005 (*Soal Lengkap)Jika matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\
4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ dan inversnya mentransformasikan titik $P$ ke titik $(1,0)$, koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (2,-4) \\
(B)\ & (2, 4) \\
(C)\ & (-2,4) \\
(D)\ & (-2,-4) \\
(E)\ & (1,-3) \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\
4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
5a -3 \\
20 + b
\end{pmatrix}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $5a-3=7$ maka $a=2$ dan $20+b=12$ maka $b=-8$;

Matriks transformasi $\begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & -8
\end{pmatrix}$

Invers matriks transformasinya adalah $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$

Matriks $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $P(x,y)$ ke $(1,0)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
-4 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
-8x+3y = -4 & \times 1 \\
-4x+2y = 0 & \times 2 \\
\hline
-8x+3y = -4 & \\
-8x+4y = 0 & (-) \\
\hline
-y = -4 \\
y = 4 \\
x = 2 \\
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (2, 4)$

13. Soal UN Matematika IPA 2006 (*Soal Lengkap)Persamaan bayangan parabola $y=x^{2}-3$, karena refleksi terhadap sumbu $X$ dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$, adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0 \\
(B)\ & y^{2}+x^{2}+2xy+x-2y-3=0 \\
(C)\ & y^{2}+x^{2}-2xy+x-2y-3=0 \\
(D)\ & y^{2}+x^{2}+2xy+x+2y-3=0 \\
(E)\ & y^{2}-x^{2}+2xy+x+2y-3=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi direfleksikan terhadap sumbu $X$ adala $T_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan matriks transformasi oleh $T_{2}=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2x-y \\
x-y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $x'=2x-y$ dan $y'=x-y$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = x' & \\
x-y = y' & (-) \\
\hline
x = x'-y' & \\
y = x'-2y'
\end{array} $

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan;
$\begin{align}
y & =x^{2}-3 \\
x'-2y' & =(x'-y')^{2}-3 \\
x -2y & =(x -y )^{2}-3 \\
x -2y & =x^{2}+y^{2}-2xy-3 \\
x^{2}+y^{2}-2xy-3-x+2y & = 0 \\
y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3 & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0$

14. Soal SBMPTN 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$. Jika hasil rotasi adalah $(2+a,-2)$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi rotasi sebesar $90^{\circ}$ pusat $(1,1)$,
$T_{1}: \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ 90 & - sin\ 90\\
sin\ 90 & cos\ 90
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-1\\y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$.

Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$ menghasilkan $(2+a,-2)$, sehingga berlaku:
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2a-1 \\-a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+1 \\ 2a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2 \\ 2a
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $-2=2a$ maka $a=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

15. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Persamaan bayang kurva $y=x^{2}-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2}-2x-3 \\
(B)\ & x=y^{2}-2y-3 \\
(C)\ & y=x^{2}-2x+3 \\
(D)\ & x=y^{2}-2y+3 \\
(E)\ & y=x^{2}+2x+3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$

Bayangan kurva $y=x^{2}-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=-x$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
cos\ 180^{\circ} & - sin\ 180^{\circ}\\
sin\ 180^{\circ} & cos\ 180^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
y \\ x
\end{pmatrix}
\end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=y$ dan $y''=x$
$\begin{align}
y &= x^{2}-2x-3 \\
x'' &= y''^{2}-2y''-3 \\
x &= y ^{2}-2y -3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x= y ^{2}-2y -3$

16. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Vektor $\bar{x}=\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}$ diputar mengelilingi pusat koordinat $O$ sejauh $90^{\circ}$ dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu $x$, menghasilkan vektor $\bar{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}$. Jika $\bar{x}=A\bar{y}$ maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
(B)\ & \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
(C)\ & \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
(D)\ & \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
(E)\ & \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$

Bayangan vektor $\bar{x}=\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}$ oleh rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ menghasilkan $\bar{y}=\begin{pmatrix}
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}$

$\begin{align}
\bar{y} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \bar{x} \\
\bar{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
cos\ 90^{\circ} & - sin\ 90^{\circ}\\
sin\ 90^{\circ} & cos\ 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\
\bar{y} &= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\
\bar{y} &= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{x} \\
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}^{-1} \cdot \bar{y} &= \bar{x} \\
\dfrac{1}{0-1} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{y} &= \bar{x} \\
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \bar{y} &= \bar{x}
\end{align}$

Alternatif penyelesaian tanpa harus komposisi transformasi: Rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu $x$ ekuivalen dengan rotasi Rotasi $[0,270^{\circ}]$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$

17. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Misalkan $A'(-1,-2)$ dan $B'(3,7)$ adalah hasil bayangan titik $A(-1,0)$ dan $B(2,1)$ oleh transformasi matriks $X$ berordo $2 \times 2$. Jika $C'(0,1)$ adalah bayangan titik $C$ oleh transformasi tersebut, titik $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (-1,1) \\
(B)\ & (1,1) \\
(C)\ & (1,3) \\
(D)\ & (2,-3) \\
(E)\ & (2,3)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dari catatan calon guru tentang Transformasi Geometri bahwa sebuah titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $X$ dan menghasilkan bayangan $A'(x',y')$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 \\
0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-a \\
-c
\end{pmatrix}\\
a=1\ \text{dan}\ c=2 \\
\hline
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2a+b \\
2c+d
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\
7
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2(1)+b \\
2(2)+d
\end{pmatrix} \\
b=1\ \text{dan}\ d=3 \\
\hline
\end{align}$
Matriks $X=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$

Titik $C(x,y)$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x+y \\
2x+3y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas, kita peroleh $x+y=0$ dan $2x+3y=1$. Dengan proses eliminasi atau substitusi kita peroleh nilai $(x,y)$ adalah $(-1,1)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (-1,1)$

18. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan peta garis $x-2y-4=0$ yang dirotasikan dengan pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ berlawanan arah dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+4=0 \\
(B)\ & x+2y-4=0 \\
(C)\ & 2x+ y+4=0 \\
(D)\ & 2x-y-4=0 \\
(E)\ & 2x+y-4=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y, x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum Bayangan hasil komposisi transformasi (*Refleksi, Rotasi dan Dilatasi)
$\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$

Bayangan kurva $x-2y-4=0$ oleh rotasi $[0,90^{\circ}]$, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y=x$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
cos\ 90^{\circ} & - sin\ 90^{\circ}\\
sin\ 90^{\circ} & cos\ 90^{\circ}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x''\\ y''
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x''=x$ dan $y''=-y$
$\begin{align}
x-2y-4 &= 0 \\
x''-2\left( -y''\right)-4 &= 0 \\
x +2y-4 &= 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2y-4=0$

19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Jika garis $y=ax+b$ digeser ke atas sejauh $2$ satuan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $x$, maka bayangannya adalah garis $y=-2x+1$. Nilai $3a-2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 12
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

Garis $y=ax+b$ di geser sejauh $2$ satuan ke atas sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
0 \\ 2
\end{pmatrix}$, setelah pergesaran diperoleh $x'=x+0$ dan $y'=y+2$ sehingga persamaan garis $y=ax+b$ berubah menjadi $y'-2=a(x'+0)+b$ atau $y'=ax'+b+2$.

Garis $y=ax+b+2$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ dan menghasilkan $y=-2x+1$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &= ax+b+2 \\
-y' &= ax'+b+2 \\
-y &= ax +b+2 \\
y &= -ax -b-2
\end{align} $

Persamaan garis $y = -ax -b-2$ ekuivalen dengan $y=-2x+1$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -ax -b-2 \\
y =& -2x+1 \\
\hline
a &=2 \\
-b-2 &=1 \\
b &=3 \\
\hline
3a-2b &= 3(2)-2(-3) \\
&= 12
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$

20. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Jika $y=2x+1$ digeser sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$X$, bayangannya menjadi $y=ax-b$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$

Garis $y=2x+1$ sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\ -b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+a$ dan $y'=y-b$ sehingga persamaan garis $y=2x+1$ berubah menjadi $y'+b=2(x'-a)+1$ atau $y'=2x'-2a-b+1$.

Garis $y =2x -2a-b+1$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ dan menghasilkan $y=ax-b$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &=2x -2a-b+1 \\
-y' &= 2x'-2a-b+1 \\
-y &= 2x -2a-b+1 \\
y &= -2x +2a+b-1
\end{align} $

Persamaan garis $y= -2x +2a+b-1$ ekuivalen dengan $y=ax-b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -2x +2a+b-1 \\
y =& ax-b \\
\hline
a &=-2 \\
2a+b-1 &=-b \\
2(-2) -1 &=-2b \\
\dfrac{5}{2} &= b \\
\hline
a+b &= -2+\dfrac{5}{2} \\
&= \dfrac{1}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2}$

21. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Garis $y=2x+1$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik asal, kemudian digeser ke atas sejauh $b$ satuan dan ke kiri sejauh $a$ satuan, bayangannya menjadi $x-ay=b$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$
Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $270^{\circ}$, $T: \begin{pmatrix}
cos\ 270 & -sin\ 270\\
sin\ 270 & cos\ 270
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.

Garis $y=2x+1$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sama dengan sejauh $270^{\circ}$ berlawanan dengan jarum jam terhadap titik asal
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'= y$ dan $y'=-x$
$\begin{align}
y &= 2x+1 \\
x' &= 2(-y')+1 \\
x &= -2y +1
\end{align} $

Garis $ x= -2y +1$ digeser ke atas sejauh $b$ dan ke kiri sejauh $a$ sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
-a \\ b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x-a$ dan $y'=y+b$ sehingga persamaan garis $ x=-2y+1$ berubah menjadi $ x'+a =-2(y'-b)+1$ atau $ x'+a=-2y'+2b+1$.

Persamaan garis $x+a=-2y +2b+1$ ekuivalen dengan $x-ay=b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
x +a=& -2y +2b+1 \\
x +2y = & -a +2b+1 \\
x-ay =& b \\
\hline
a &= -2 \\
-a+2b+1 &= b \\
2 +1 &= -b \\
-3 &= b \\
\hline
a+b &= -2-3 \\
&= -5
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$

22. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Parabola $y=x^{2}-6x+8$ digeser ke kanan sejauh $2$ satuan searah dengan sumbu-$X$ dan digeser ke bawah sejauh $3$ satuan searah sumbu-$Y$. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu-$X$ di $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka nilai $x_{1}+x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 11
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri dan tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$
Akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$

Parabola $y=x^{2}-6x+8$ digeser ke kanan sejauh $2$ dan ke bawah sejauh $3$ satuan sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
2 \\ -3
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+2$ dan $y'=y-3$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=x^{2}-6x+8 \\
y'+3 &=(x'-2)^{2}-6(x'-2)+8 \\
\hline
y +3 &=(x -2)^{2}-6(x-2)+8 \\
y &= x^{2}-4x+4-6x+12+8-3 \\
y &= x^{2}-10x+21 \\
\hline
0 &= x^{2}-10x+21 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-10}{1} \\
&= 10
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasMatematika Dasar Transformasi Geometri (*Soal dan Pembahasan)

lembar jawaban penilaian harian matematika,

lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

Transformasi GeometriCMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

atatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Tra Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri

var labelArray = ["BANK SOAL", "Geometri"]; var relatedPostConfig = { homePage: "https://bukuajaran-sma-smk.blogspot.com/", widgetTitle: "<div class='label-line-c'><h4>Artikel Terkait</h4></div>", numPosts: 8, titleLength: "auto", thumbnailWidth: 250, thumbnailHeight: 170, noImage: "//3.bp.blogspot.com/-ltyYh4ysBHI/U04MKlHc6pI/AAAAAAAADQo/PFxXaGZu9PQ/w255-h170-c/no-image.png", containerId: "related-post-6056247689358222645", newTabLink: false, moreText: "Read More", widgetStyle: 3, callBack: function() {} };

Belum ada Komentar untuk "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri"

Posting Komentar

Beranda