Beranda › BANK SOAL › Limit Fungsi

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi

Jumat, 01 September 2017 Tambah Komentar Edit

limit fungsi trigonometriAturan Turunan Fungsi

$\dfrac{d}{dx}[c]=0$

$\dfrac{d}{dx}[x]=1$

$\dfrac{d}{dx}[cx^{n}]=cnx^{n-1}$

$\dfrac{d}{dx}[cu]=cu'$

$\dfrac{d}{dx}[u \pm v]=u' \pm v'$

$\dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'$

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{u}{v}]=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$

$\dfrac{d}{dx}[\left |u \right |]=\dfrac{u}{\left |u \right |}(u'),\ u\neq 0 $

$\dfrac{d}{dx}[ln\ u]=\dfrac{u'}{u}$

$\dfrac{d}{dx}[e^{u}]=u'e^{u}$

$\dfrac{d}{dx}[log_{a}u]=\dfrac{u'}{(ln\ a)u}$

$\dfrac{d}{dx}[a^{u}]=a^{u}u'(ln\ a)$

$\dfrac{d}{dx}[sin\ u]=u'(cos\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[cos\ u]=-u'(sin\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[tan\ u]=u'(sec^{2}\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[cot\ u]=-u'(csc^2\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[sec\ u]=u'(sec\ u\ tan\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[csc\ u]=-u'(csc\ u\ cot\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[arcsin\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$\dfrac{d}{dx}[arccos\ u]=\dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$\dfrac{d}{dx}[arctan\ u]=\dfrac{u'}{1+u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[arccot\ u]=\dfrac{-u'}{1+u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[arcsec\ u]=\dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$

$\dfrac{d}{dx}[arccsc\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$

$\dfrac{d}{dx}[sinh\ u]=u'(cosh\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[cosh\ u]=-u'(sinh\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[tanh\ u]=u'(sech^{2}\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[coth\ u]=-u'(csch^2\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[sech\ u]=-u'(sech\ u\ tanh\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[csch\ u]=-u'(csch\ u\ coth\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[sinh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}$

$\dfrac{d}{dx}[cosh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}$

$\dfrac{d}{dx}[tanh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[coth^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[sech^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^{2}}}$

$\dfrac{d}{dx}[csch^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{1+u^{2}}}$

Menentukan Gradien Garis Singgung KurvaFungsi Naik dan Fungsi Turun

Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$

Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

Nilai Maksimum atau Minimum Sebuah Fungsi

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\
h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\
1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\
1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\
4 & = -4 - 4a \\
8 & = - 4a \\
a & = \dfrac {8}{-4} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -3 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = f(x)+g(x) \\
h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\
h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\
-3 & = -4+a \\
a & = -3+4=1
\end{align}$

$\begin{align}
k(x) & = f(x)g(x) \\
k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\
& = (-4)(2)+(1)(1) \\
& = -4+1=-3 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -3$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

4. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$Alternatif Pembahasan: show

Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
& =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\
& =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\
& =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$

5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$(A)\ 1 \lt x \lt 3$
$(B)\ -1 \lt x \lt 3$
$(C)\ -3 \lt x \lt 1$
$(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$
$(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$Alternatif Pembahasan: show

Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\
3x^2+6x-9 & \lt 0 \\
x^2+2x-3 & \lt 0 \\
(x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =-3\ \text{atau} \\
x & =1 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$

6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$Alternatif Pembahasan: show

Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

7. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$Alternatif Pembahasan: show

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka dapat kita misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\
1 & = q
\end{align}$

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\
m+m^{-1} & = p
\end{align}$

Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align}
p-q & = m+m^{-1} - 1 \\
(p-q)' & = 1-m^{-2} \\
1-m^{-2} & = 0 \\
m^{-2} & = 1 \\
\dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\
1 & = m^{2} \\
m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)}
\end{align}$

Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 22
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.

Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ adalah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align}
m & = f'(x)=2ax +b \\
m & = f'(-1) \\
-1 & = -2a+b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
-2a+b = -1 & \\
\hline
2b = 2 & \\
b = 1 & \\
a = 1
\end{array} $
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$

$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$, maka...
$(1)\ $ $f$ terdefenisi di $x \geq 0$
$(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$
$(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$
$(4)\ $ $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titikAlternatif Pembahasan: show

Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan

Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefenisi di $x \geq 0$ adalah BENAR
Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real.
Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
$ \begin{align}
f(x) & = (x-1)^\dfrac{2}{3} \\
f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\
f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{2}{3}
\end{align} $
Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ adalah BENAR
$ \begin{align}
m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\
m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \\
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\
y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\
y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\
\end{align} $
Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik adalah SALAH, karena $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$

11. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)Sebuah kotak dengan alas persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya adalah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 15
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kita misalkan alas dan tinggi kotak masing-masing adalah $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align}
V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\
2 &= a^{2} \cdot t \\
t &= \dfrac{2}{a^{2}}
\end{align}$

Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align}
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\
L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\
L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\
\end{align}$

Biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align}
B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1}
\end{align}$

Untuk mendapatkan biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
B' &= 8a - 8 a^{-2} \\
0 &= 8a - 8 a^{-2} \\
0 &= 8a^{3} - 8 \\
8a^{3} &= 8 \\
a^{3} &= 1 \\
a &= 1
\end{align}$

Biaya termurah kita peroleh saat $a=1$ sehingga biaya termurah adalah
$\begin{align}
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\
p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\
p &= 12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$

12. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 23
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapatkan nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= x^{2}-4x +3 \\
0 &= (x-1)(x-3) \\
x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\
\hline
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\
&= -1+6-9+7=3 \\
f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\
&= -27+54-27+7=7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum adalah $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum adalah $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= x^{2}-4x +3 \\
0 &= (x-1)(x-3) \\
x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\
\hline
f''(x) &= -6x+12 \\
f''(1) &= -6(1) +12=6 \\
f''(3) &= -6(3) +12=-6
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(3)$ yaitu $7$.

13. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)Jumlah dua bilangan positif adalah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 50
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align}
a+b &= 120 \\
b &= 120-a \\
H &= a^{2} \cdot b \\
&= a^{2} \cdot (120-a) \\
&= 120a^{2} - a^{3}
\end{align}$

Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua adalah $H$, dan untuk mendapatkan $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
H' &= 240a -3a^{ 2} \\
0 &= 240a -3a^{ 2} \\
0 &= a \left( 240 -3a \right) \\
a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80
\end{align}$

Nilai $H$ maksimum kita peroleh saat $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $80-40=40$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\
f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\
f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\
0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\
f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\
0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\
\end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+4-n = 0 & \\
75m-20-n = 0 & (-)\\
\hline
-72m = 24 \\
m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\
n = 3\\
\hline
3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\
3m-n =-1-3=-4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 12
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
g(x) &=\dfrac{u}{v} \\
g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\
g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\
g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-12 }{1}=-12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)Syarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\
(B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\
(C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\
(D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\
(E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\
f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$

Agar $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3 \lt 0 $, ini berarti $f'(x)$ selalu bernilai negatif atau dengan istilah lain $f'(x)$ adalah definit negatif.

Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:

$p \lt 0$ sudah memenuhi karena $p=-3$
$D=q^{2}-4pr \lt 0 $
$(a-1)^{2}-4(-3)(-3) \lt 0 $
$a^{2}-2a+1-36 \lt 0 $
$a^{2}-2a -35 \lt 0 $
$(a-7)(a+5) \lt 0 $
Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$

Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\
0 &= 4-4 +a \\
0 &= a \\
\hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\
b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\
&= 1-2=-1 \\
\hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{u}{v} \\
f'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
f (x) &=\dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\
f'(x) &=\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
&=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(0) &= a \\
f(0) &=\dfrac{a(0)+b}{0^{2}+1} \\
f(0) &=b \\
\hline
f'(0) &= f(0) \\
a &= b \\
\hline
f'(x) &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\
1 &=\dfrac{a +a -2a +2b }{4} \\
4 &=2b \\
2 &= b \\
a &= 2 \\
a+b &= 2+2=4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

19. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

atatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Tur Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi

Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ seperti terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...
$(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
$(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
$(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
$(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Alternatif Pembahasan: show

Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
$\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar
Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
$\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar
Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
$\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar
Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
$\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$

20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...
$(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ adalah nilai maksimum $f$.
$(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ adalah nilai minimum $f$.
$(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
$(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.Alternatif Pembahasan: show

Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\
0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b)
\end{align}$
Titik ekstrim adalah saat $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:

Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik

Dari keterangan yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa:

Untuk $x=0$ adalah nilai maksimum $f$, karena saat $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
Untuk $x=a$ adalah titik belok $f$, karena saat $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
Untuk $x=b$ adalah nilai minimum $f$, karena saat $x \gt b$ fungsi $f$ naik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$

21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...
$(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
$(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.
$(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Alternatif Pembahasan: show

Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\
&= 4b^{2}-12ac \\
&= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\
\hline
b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0
\end{align}$

$b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
- Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
- Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
$f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu saat $x=0$
$f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum karena $f$ selalu naik atau selalu turun
$f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat karena $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ \text{Benar}$

22. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\
(B)\ & \dfrac{5}{6} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & \dfrac{5}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ dapat terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ adalah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ adalah nol.

Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $
$\begin{align}
y' & =x^{2}-3x +2 \\
0 &= (x-2)(x-1) \\
x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\
\hline
x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\
& \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\
& \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\
x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\
& \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\
& \rightarrow y =\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah $x$, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \pi x \\
(B)\ & 2\pi x \\
(C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\
(D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\
(E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
K & =2 \pi\ r \\
x & =2 \pi\ r \\
r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\
\hline
L & = \pi \cdot r^{2} \\
& = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\
& = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}}{4 \pi}
\end{align}$
Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align}
L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\
\dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\
& = \dfrac{ x}{2 \pi}
\end{align}$

Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda tentang Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{24}{5} \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & \dfrac{39}{5}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\
f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\
f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\
3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\
3 & = 2a +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\
9 & = 4a +b \\
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
4a+b = 9 & - \\
\hline
2a = 6 & \\
a = 3 & \\
b = -3 & \\
\hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Proyek pembangunan gedung STIS dapat diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
$\begin{align}
(A)\ & 40\ \text{hari} \\
(B)\ & 60\ \text{hari} \\
(C)\ & 90\ \text{hari} \\
(D)\ & 120\ \text{hari} \\
(E)\ & 150\ \text{hari}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari adalah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align}
B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\
& = 3x^{2}-900x+200 \\
B'(x)& = 6x-900
\end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum dapat kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align}
6x-900 & = 0 \\
6x & = 900 \\
x & = \dfrac{900}{60}=150
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$

26. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 38 \\
(B)\ & 35 \\
(C)\ & 27 \\
(D)\ & 22 \\
(E)\ & 20
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f'(x) & = 3x^{2}+6x-9 \\
f'(x) & = 3(x-1)(x+3)
\end{align}$

$\begin{align}
f''(x) & = 6x+6 \\
f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\
f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\
\end{align}$
Pembuat maksimum $f(x)$ adalah saat $x=-3$,
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\
& = -27+27+27=27=a
\end{align}$

Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ minimum adalah saat $x=-1$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\
& = -1+3+9=11=b
\end{align}$

Nilai $a+b=27+11=38$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$

27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar. Volume kotak yang terbesar yang dapat dibuat adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 2.000\ cm^{3} \\
(B)\ & 3.000\ cm^{3} \\
(C)\ & 4.000\ cm^{3} \\
(D)\ & 5.000\ cm^{3} \\
(E)\ & 6.000\ cm^{3} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Soal ini adalah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak dapat kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.

Panjang sisi karton adalah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga alas kotak nantinya adalah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align}
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\
& = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\
& = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\
\end{align}$

Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align}
V'(x) & = 0 \\
12x^{2}-240x+900 & = 0 \\
x^{2}-20x+75 & = 0 \\
(x-15)(x-5) & = 0
\end{align}$

Untuk menentukan volume kotak terbesar dapat dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align}
V''(x) & = 2x-20 \\
\hline
x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\
& x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\
\hline
x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\
& x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\
\hline
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\
V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\
V(5) & = 400 \cdot 5 =2000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$

28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$Alternatif Pembahasan: show

Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih seperti berikut ini:

Luas permukaan balok tanpa tutup adalah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\
1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\
1800 &= 6x^{2} + 10xt \\
1800 - 6x^{2} &= 10xt \\
\dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t
\end{align} $
Volume balok:
$\begin{align}
V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\
&= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\
&= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\
&= 10800x- 36x^{3}
\end{align} $
Dengan menggunakan uji turunan pertama (V'=0) kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align}
V' &= 10800 - 108x^{2} \\
0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\
0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\
\hline
& x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\
\hline
V &= 10800x- 36x^{3} \\
V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\
V &= 108.000- 36.000 \\
V &= 72.000
\end{align} $

$\therefore$ Jawaban yang sesuai $72.000$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasMatematika Dasar Turunan Fungsi

lembar jawaban penilaian harian matematika,

lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

Turunan FungsiCMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

var labelArray = ["BANK SOAL", "Limit Fungsi"]; var relatedPostConfig = { homePage: "https://bukuajaran-sma-smk.blogspot.com/", widgetTitle: "<div class='label-line-c'><h4>Artikel Terkait</h4></div>", numPosts: 8, titleLength: "auto", thumbnailWidth: 250, thumbnailHeight: 170, noImage: "//3.bp.blogspot.com/-ltyYh4ysBHI/U04MKlHc6pI/AAAAAAAADQo/PFxXaGZu9PQ/w255-h170-c/no-image.png", containerId: "related-post-4076442804541614484", newTabLink: false, moreText: "Read More", widgetStyle: 3, callBack: function() {} };

Belum ada Komentar untuk "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi"

Posting Komentar

Beranda