Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal BSE Matematika SMA Kelas 2 IPA)

Kita dapat pertanyaan dari teman grup sebelah, mumpung lagi ada waktu luang kita bahas yuk Mat, kata Tika yang dari tadi asyik senyum-senyum sendiri melihat telepon pintarnya.

Tentang apa soalnya Tika, apakah kamu yakin kita bisa selesaikan soalnya, balas Mat.

Ini soalnya ada beberapa Mat sepertinya tentang Aplikasi Turunan Fungsi, aku yakin kamu bisa koq,. Kita bahas satu persatu aja iya Mat...

Soal Pertama:

Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi $x$ unit barang jenis A sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum.

Alternatif Pembahasan: show

Dari soal kita ketahui bahwa setiap harinya biaya produksi $x$ unit adalah $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$.
Jadi untuk setiap hari, pembuatan $x$ unit barang jenis A diperlukan biaya sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$,
Misal:
Untuk $1$ unit total biayanya adalah $2(1)^{3}-4.000(1)^{2}+6.000.000(1)=5.996.002$ dan biaya per unitnya $5.996.002$
Untuk $2$ unit total biayanya adalah $2(2)^{3}-4.000(2)^{2}+6.000.000(2)=11.984.016$ dan biaya per unitnya $5.992.008$
Untuk $3$ unit biayanya adalah $2(3)^{3}-4.000(3)^{2}+6.000.000(3)=17.964.054$ dan biaya per unitnya $5.988.018$
dan seterusnya...
Jika unit diproduksi semakin banyak sepertinya biaya semakin besar tetapi biaya per unitnya semakin murah. Untuk itulah kita diminta coba hitung berapa unit yang akan di produksi agar biaya minimum.

Biaya pembuatan $x$ unit barang jenis A diperlukan biaya sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$. Jika fungsi biaya pembuatan $1$ unit barang jenis A kita misalkan dengan $B$, maka biaya untuk pembuatan $1$ unit adalah $B=\frac{2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x}{x}=2x^{2}-4.000x+6.000.000$

Dari fungsi biaya produksi $1$ unit $B=2x^{2}-4.000x+6.000.000$. Untuk menghitung nilai $B$ kapan minimum, kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu saat $B'=0$.
$B=2x^{2}-4.000x+6.000.000$
$B'=4x-4.000$
saat $B'=0$ maka kita peroleh
$4x-4.000=0$
$4x=4.000$
$x=\frac{4000}{4}=1.000$
Jadi agar biaya pembuatan 1 unit barang jenis A minimum baiknya diproduksi $1.000$ unit setiap hari.

Soal Kedua:

Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibuat talang air. Kedua tepinya dilipat selebar $x$, seperti pada gambar berikut.

Jika lebar seng tersebut $40\ cm$, tunjukkan bahwa:
(a). luas penampang talang adalah $L (x) = 40x – 2x^{2}$;
(b). tentukan ukuran penampang $L(x) = 40x – 2x^{2}$.

Alternatif Pembahasan: show

Talang seng umumnya berfungsi untuk mengkontrol aliran air hujan pada ruma, sehingga talang seng berada diatas tepat dibawah dan diujung atap rumah. Jika belum bisa membayangkan talang seng itu atau belum mengenal talang seng, coba di search pada google image dengan kata kunci "talang seng". Mungkin dengan melihat gambar yang lebih nyata proses perhitungan lebih mudah dipahami.

Lebar seng $40\ cm$ lalu pada kedua sisi seng dilipat selebar $x$ sehingga lebar penampang seng sekarang adalah $40-2x$, dan tinggi talang adalah $x$.

Yang dimaksud dengan luas penampang talang $(L)$ adalah luas lantai talang (*pada gambar diatas yang biru) dikalikan tinggi talang (*pada gambar merah).
$L=(40-2x)(x)=40x – 2x^{2}$.
Untuk pertanyaan yang (a) sepertinya sudah terbukti, tetapi untuk pertanyaan (b) sepertinya masih ada yang kurang kalimatnya, seharusnya tentukan ukuran penampang talang agar luas penampang talang maksimum.

Dari fungsi $L(x) = 40x – 2x^{2}$. Untuk menghitung nilai $L$ kapan maksimum, kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu saat $L'=0$.
$L(x) = 40x – 2x^{2}$
$L'(x)=40-4x$
saat $L(x)'=0$ maka kita peroleh
$40-4x=0$
$4x=40$
$x=\frac{40}{4}=10$
Jadi agar luas penampang maksimum pada tepinya dilipat selebar $10$, sehingga lebar lantai talang $20\ cm$ dan tinggi talang $10\ cm$.

Soal Ketiga:

Luas sebuah juring lingkaran yang berjari-jari $r$ adalah $4\ cm^{2}$.
(a). Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah $K(r)\ cm$ dengan $K(r) = 2 \left( r+\frac{4}{r} \right)$.
(b). Tentukan nilai minimum $K$.

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui bahwa Luas Juring adalah $L_{J}=4\ cm^{2}$ dengan jari-jari $r$, berdasarkan informasi ini bisa kita simpulkan bahwa:
$L_{J}=4\ cm^{2}$
$L_{J}=\frac{\theta }{2 \pi} \times L_{\odot}$
$4=\frac{\theta }{2 \pi} \times \pi r^{2}$
$\frac{\theta }{2 \pi}=\frac{4}{\pi r^{2}}$

Keliling Juring dapat kita hitung dengan aturan
$K_{J}=\frac{\theta }{2 \pi} \times K_{\odot}+2r$
$K_{J}=\frac{4}{\pi r^{2}} \times 2 \pi r+2r$
$K_{J}=\frac{8 \pi r}{\pi r^{2}}+2r$
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}= 2 \left( r+\frac{4}{r} \right)$

Untuk bagian (a) sudah terbukti, untuk bagian (b) nilai minimum $K$ kita coba menggunakan turunan pertama yaitu memakai $K'=0$.
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}= 8r^{-1}+2r$
$K'_{J}= -8r^{-2}+2$
$K'_{J}=-\frac{8}{r^{2}}+2$
Untuk $K'_{J}=0$, maka
$-\frac{8}{r^{2}}+2=0$
$-8+2r^{2}=0$
$r^{2}-4=0$
$(r-2)(r+2)=0$
$r=2$ atau $r=-2$
Nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$ karena $r$ adalah sebuah panjang jari-jari.

Keliling minimum $K$ adalah saat $r=2$
$K(2) = 2 \left( 2+\frac{4}{2} \right)$
$K(2) = 2 \left( 2+2 \right)$
$K(2) = 8$

Soal Keempat:

Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume $V$. Upah buruh $(c)$ berbanding langsung dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling alas kaleng.
(a). Jika tinggi kaleng $t$ dan jari-jari alas $r$, buktikan bahwa $c = k \left( \frac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$
dengan $k = \text{konstanta}$.
(b). Buktikan bahwa upah buruh $(c)$ paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.

Alternatif Pembahasan: show

Upah buruh adalah dari berapa banyak tabung yang selesai dikerjakan $(k)$. Untuk setiap tabung buruh harus mempatri sebanyak tiga kali yaitu keliling lingkaran sebanyak 2 kali dan satu kali tinggi tabung.

Upah buruh $(c)$, dapat kita hitung menjadi dalam persamaan;
$c=k(t+2(2 K_{\odot})$
$c=k(t+2(2 \pi r)$
$c=k(t+4 \pi r)$
dimana kita ketahui bahwa $V=\pi r^{2} \times t$
$c=k \left( \frac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$

Untuk bagian (a) sudah terbukti, untuk bagian (b) upah buruh $(c)$ paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.

Soal Kelima:

Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah $t$ menit diberikan oleh persamaan $N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$, $0 \leq t \leq 20$
Tentukan kapan pertumbuhan bakteri tersebut
(a). menurun,
(b). meningkat, dan
(c). mencapai maksimum.

Alternatif Pembahasan: show

Untuk melihat kapan pertumbuhan bakteri menurun, meningkat dan maksimum pada saat $0 \leq t \leq 20$ dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $N'(t)$.
$N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$
$N'(t) = 60t – 3t^{2}$

(a) Bakteri menurun saat
$N'(t) < 0 \\
60t – 3t^{2} < 0 \\
3t^{2}-60t\ > 0 \\
t(3t-60)\ > 0 \\
t < 0\ \text{atau}\ t < 20$

(b) Bakteri meningkat saat
$N'(t) > 0 \\
60t – 3t^{2} > 0 \\
3t^{2}-60t < 0 \\
t(3t-60) < 0 \\
0 < t < 20$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

(c) Bakteri mencapai masksimum saat $t=20$ karena $N"(t)=60-6t$ bernilai negatif saat $t=20$.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $N(t)$ saat $t=0$ dan $t=20$, maka akan diperoleh masksimum saat $t=20$.

Soal Keenam:

Setelah satu jam $x$ miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan $T(x) = x^{2} \left(1- \frac{x}{9} \right)$, $0 \leq t \leq 6$
Rata-rata perubahan $T(x)$ bersesuaian dengan ukuran dosis $x$. $T(x)$ disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?
b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?
c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?

Alternatif Pembahasan: show

Untuk melihat sensitivitas tubuh menurun, meningkat dan maksimum pada saat $0 \leq t \leq 6$ dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $T'(x)$.
$T(x) = x^{2} \left(1- \frac{x}{9} \right)$
$T(x) = x^{2}- \frac{1}{9}x^{3}$
$T'(x) = 2x- \frac{1}{3}x^{2}$

(a) sensitivitas tubuh meningkat saat
$T'(x) > 0 \\
2x- \frac{1}{3}x^{2} > 0 \\
\frac{1}{3}x^{2}-2x < 0 \\
x(\frac{1}{3}x-2) < 0 \\
0 < x < 6$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

(b) sensitivitas tubuh meningkat saat
$T'(x) < 0 \\
2x- \frac{1}{3}x^{2} < 0 \\
\frac{1}{3}x^{2}-2x\ > 0 \\
x(\frac{1}{3}x-2)\ > 0 \\
x < 0\ \text{atau}\ x > 6$

(c) sensitivitas tubuh maksimum saat $x=6$ karena $T"(x)=2- \frac{2}{3}x$ bernilai negatif saat $x=6$.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $T(x)$ saat $x=0$ dan $t=6$, maka akan diperoleh masksimum saat $x=6$

Sudah Mat, soalnya sudah habis... Untuk soal keempat bagian (b) besok kita diskusikan lagi, sepertinya kita masih kesulitan bagaimana membuktikannya.

Oh iya Mat soal ini ternya diambil dari Buku Sekolah Elektronik (BSE) yang sempat menjadi program andalan pemerintah dalam memajukan pendidikan di Indonesia. Untuk teman-teman yang mau melihat langsung soal pada bukunya silahkan download saja BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika SMA Kelas 2 IPA yang ditulis oleh Wahyudin Djumanta dan rekan.

Hari ini kami diskusinya berdua dan biasanya diskusinya bertiga bersama Ema,.. nah siapa tahu Tika dan Mat ada kesalahan dalam perhitungan diatas tidak usah sungkan iya untuk mengkreksi. Sampai jumpa, jangan lupa juga lihat diskusi kami yang lainnya dan Semoga Bermanfaat.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Sumber https://www.defantri.com/

Bagikan Artikel ini