Turunan Fungsi Aljabar

Materi tentang turunan (diferensial) saya rasa sangat penting untuk dipelajari, karena materi ini bisa sangat membantu atau mempermudah materi lain, seperti dalam penyelesaian limit, nilai maksimum atau minimum, puncak fungsi kuadrat, masalah gradien dan sebagainya. 

A. Definisi Turunan Fungsi

Misalnya $y$ adalah suatu fungsi dari $x$ atau $y=f(x)$, turunan fungsi $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ atau $y'$ atau $f'(x)$ dan didefinisikan sebagai berikut: $$\boxed{f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Contoh:

Dengan menggunakan definisi $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}$, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

a. $f(x)=5$

b. $f(x)=x$

c. $f(x)=x^2$

d. $f(x)=x^3$

Jawab:

a. $f(x)=5$

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{5-5}{h}}=0$

b. $f(x)=x$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}\\&=1\end{align*}$

c. $f(x)=x^2$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}2x+h\\&=2x\end{align*}$

d. $f(x)=x^3$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}3x^2+3xh+h^2\\&=3x^2\end{align*}$

B. Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan kembali contoh soal di atas, jadi contoh tersebut kita peroleh kesimpulan:

1. Jika $f(x)=k$, maka $f'(x)=0$
2. Jika $f(x)=x$, maka $f'(x)=1$
3. Jika $f(x)=x^2$, maka $f'(x)=2x$
4. Jika$f(x)=x^3$, maka $f'(x)=3x^2$
5. dst

Dari pola terebut, kita menentukan rumus turunan sebagai berikut:
$$\boxed{f(x)=ax^n\Rightarrow f'(x)=an x^{n-1}}$$
Contoh soal:
Dengan menggunakan rumus, tentukan turunan fungsi berikut:
a. $f(x)=4x^3$
b. $f(x)=3x^5+2x^2+3x+2$
c. $f(x)=\frac{3}{x^4}$
d. $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

Jawab:
$\begin{align*}\text{a.}\space f(x)&=4x^3\\f'(x)&=12x^2\end{align*}$

untuk menjawab soal bagian b, perhatikan dulu ketentuan berikut:
Jika $g$ dan $h$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan, dan jika $f(x)=g(x)\pm h(x)$, maka: $f'(x)=g'(x)\pm h'(x)$. Dengan kata lain, jika suatu fungsi merupakan penjumlahan atau pengurangan dari beberapa suku, maka turunan fungsi tersebut juga merupakan penjumlahan atau pengurangan dari turunan suku-sukunya.

$\begin{align*}\text{b.}\space f(x)&=3x^5+2x^2+3x+2\\f'(x)&=15x^4+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*}\text{c.}\space f(x)&=\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\\f'(x)&=-12x^{-5}=-\frac{12}{x^5}\end{align*}$

$\begin{align*}\text{d.}\space f(x)&=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\\f'(x)&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}\end{align*}$

C. Turunan Fungsi Majemuk

Jika U dan V fungsi-fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan dan jika $f(x)=U(x).V(x)$, maka:

$f'(x)=U'(x).V(x)+U(x).V'(x)$

Contoh:
Tentukan turunan dari $f(x)=(x^2-2x)(2x^2+3x)$

Jawab:

Misal 
$U=x^2-2x\Rightarrow U'=2x-2$
$V=2x^2+3x\Rightarrow V'=4x+3$

$\begin{align*}f'(x)&=U'V+UV'\\&=(2x-2)(2x^2+3x)+(x^2-2x)(4x+3)\\&=4x^3+2x^2-6x+4x^3-5x^2-6x\\&=8x^3-3x^2-12x\end{align*}$

Jika U dan V fungsi-fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan dan jika $f(x)=\frac{U(x)}{V(x)}$, maka:

$f'(x)=\frac{U'(x).V(x)-U(x).V'(x)}{[V(x)]^2}$

Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi $f(x)=\frac{2x+1}{3x-2}$

Jawab:

Misal
$U=2x+1\Rightarrow U'=2$
$V=3x-2\Rightarrow V'=3$

$\begin{align*}f'(x)&=\frac{U'V-UV'}{V^2}\\&=\frac{2(3x-2)-(2x+1)3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{-7}{(3x-2)^2}\end{align*}$

Jika U merupakan fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan dan jika $f(x)=U(x)^n$, maka:

$f'(x)=n. U(x)^{n-1}. U'(x)$

Contoh:

Tentukan turunan dari $f(x)=(5x^2+3)^7$

Jawab:

Misal: $U=5x^2+3\Rightarrow U'=10x$

$\begin{align*}f'(x)&=7(5x^2+3)^6.10x\\&=70x(5x^2+3^6)\end{align*}$

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Bagikan Artikel ini